[중2 수학] 피타고라스 수를 통한 심화 학습
피타고라스 정리는 중학교 수학에서 빼놓을 수 없는 중요한 내용으로, 직각삼각형의 세 변 사이의 관계를 다룹니다.
그런데 이 정리를 어느 학년에 배우는지는 교육과정 개정에 따라 조금씩 달라졌습니다.
- 2009 개정 교육과정까지는 중학교 3학년 과정에서 피타고라스 정리를 가르쳤습니다.
- 하지만 2015 개정 교육과정부터는 이를 중학교 2학년에서 가르치기 시작했습니다.
- 그리고 2022 개정 교육과정에서도 피타고라스 정리는 중학교 2학년 과정인 ‘도형과 측정(기하의 새 명칭)’ 단원에서 다루어집니다.
흥미로운 점은, 중학교 2학년에서는 아직 무리수를 배우지 않았기 때문에
피타고라스 정리는 유리수 범위 내에서만 다룬다는 겁니다.
이를 바탕으로, 피타고라스 정리를 만족하는 세 개의 정수를 학생들이 배우게 되는데,
흔히 피타고라스 수라고 부릅니다.
사실 학문적으로는 피타고라스 세쌍(Pythagorean triple) 또는 피타고라스 삼조라고 부르는 것이 더 정확한 표현입니다. 그렇다면 왜 ‘피타고라스 수’라는 이름을 쓸까요?
중학교 과정에서는 집합에 대해 배우지 않았기 때문에 학생들이 쉽게 이해할 수 있는 용어로 바꾼 것입니다.
피타고라스 정리는 직각삼각형에서 빗변의 제곱이 나머지 두 변의 제곱의 합과 같다는 원리를 설명합니다.
$a^2+b^2=c^2$
이를 만족하는 자연수의 조합을 피타고라스 수라고 부릅니다.
예를 들어, 다음과 같은 삼각형들이 피타고라스 수의 대표적인 예입니다:
$3^2+4^2=9+16=25=5^2$
$6^2+8^2=36+64=100=10^2$
위의 계산을 통해, 세 변이 피타고라스 정리를 만족한다는 것을 확인할 수 있습니다.
그런데 여기서 흥미로운 점이 있습니다.
왜 수많은 피타고라스 수 중에서 (3, 4, 5)와 (6, 8, 10)을 예로 들었을까요?
그 이유는 바로 오늘 이야기하고 싶은 주제, 피타고라스 수의 배수 관계와 관련이 있습니다.
피타고라스 수의 배수 관계란?
피타고라스 수에 같은 자연수를 곱하면 여전히 피타고라스 정리를 만족할까요?
즉, 피타고라스 정리를 만족하는 자연수 세 쌍에 어떤 자연수를 곱했을 때도 여전히 그 관계가 성립할까요?
이를 확인하기 위해 아래의 과정을 살펴보겠습니다.
위의 직각삼각형에서 밑변을 a, 높이를 b, 빗변을 c라고 합시다.
피타고라스 정리에 따르면 $a^2+b^2=c^2$ 가 성립합니다.
그렇다면 각 변에 어떤 자연수 k를 곱한 경우를 생각해봅시다.
즉, 새로운 세 변이 $ak, bk, ck$ 라면,
$a^2+b^2$ 대신에 $c^2$을 대입하면
$(ak)^2+(bk)^2=a^2k^2+b^2k^2=(a^2+b^2)k^2=c^2k^2=(ck)^2$ 이 만족함을 보일 수 있다.
계산 결과, 위와 같은 과정으로 피타고라스 수에 같은 자연수를 곱해도
여전히 피타고라스 정리를 만족한다는 사실을 알 수 있습니다.
마무리 및 다음 주제 예고
다음 시간에는 피타고라스 정리를 중학교 수준에서 증명하는 방법에 대해 이야기하려 합니다.
이 과정이 조금 복잡하게 느껴질 수도 있지만, 수학적 사고력을 키우기 위해 꼭 필요한 부분이라고 생각합니다.
대수적 관점과 기하적 관점을 함께 활용해 수학을 다양한 시각으로 바라볼 수 있도록 돕고 싶습니다.
조금 더 논리적이고 엄밀하게 수학을 탐구할 준비가 되셨나요? 다음 이야기를 기대해주세요!