피타고라스 정리는 단순하지만, 그 증명법은 아주 많다.
현재까지 밝혀진 것은 400개 이상일 정도로 다양한 증명법이 있다.
유클리드 증명법부터 미국 20대 대통령 가필드의 증명법까지 매우 많지만
오늘 다룰 것은 유클리드 증명이다.
2015개정교육과정부터 중2에서 가르치고 있다.
가필드의 증명 과정 중 $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$ 나타나는데,
다항식x다항식은 중3때 배우기에 중학교 2학년을 대상으로 가필드 증명을 쓰기엔 적절하지 않다.
그래서 유클리드 증명법을 이용해 피타고라스 정리를 증명하고자 한다.
우선, 피타고라스 증명하기 앞서, 증명에 필요한 아이디어를 먼저 다루고자 한다.
선분 MN과 선분 KL이 평행할 때, 삼각형MKL과 삼각형NKL의 넓이는 같다.
-밑변의 길이가 같고, 높이가 같으므로-
무슨 말을 하고 싶냐면 선분 ML 위 아무 점을 잡아서 선분 KL에 연결해도 그 넓이는 같다는 것이다.
직각삼각형 ABC의 각 변을 한 변으로 하는 정사각형 3개를 만들었습니다.
사각형 ACFG + 사각형 BIHC = 사각형 AEDB 임을 보여서
피타고라스 정리를 증명할 것입니다.
점C에서 선분 ED에 내린 수선의 발을 K, 선분 AB와 수선의 교점을 J라 하면
사각형 AEDB의 넓이는 사각형 AEKJ의 넓이 + 사각형 JKDB의 넓이입니다.
사각형 GACF의 넓이가 사각형 AEKJ와 같고, 사각형 CBIH의 넓이가 사각형 JKDB와 같음을 보이겠습니다.
삼각형 AEJ는 직사각형 AEKJ 넓이의 반이다.
선분 AE와 선분 CK가 평행하기 떄문에,
선분 AE를 밑변으로 하는 △AEC = △AEJ
삼각형 GAC는 직사각형 GACF 넓이의 반이다.
선분 GA와 선분 BF가 평행하기 떄문에,
선분 GA를 밑변으로 하는 △GAC = △GAB
선분 AB = 선분 AE
선분 GA = 선분 AC
각 GAB= 각 CAE 이므로
삼각형 GAB ≡ 삼각형 CAE
즉, 사각형 GACF의 넓이는 사각형 AEKJ의 넓이와 같다.
위와 같은 방법을 이용하면 사각형 CBIH의 넓이가 사각형 JKDB와 같음을 알 수 있다.
피타고라스 정리를 이용하는 다양한 방법 중 하나인 유클리드 증명.
몇 번 읽다보면 충분히 이해될 수 있는 내용이기에
중학교 2학년 수학 공부를 한다면 꼭! 이해할 수 있기를.
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